21.3. 本章小结

本章介绍了两种图形学中常用的模拟弹性物体的方法——弹簧质点系统与有限元方法。

在弹簧质点系统一节，我们首先以一个简单的例子介绍了什么是物理模型，随后在弹簧质点系统这个物理模型的背景下向读者介绍了物理模拟的概念，并展示了每个基本步骤的实现方式。物理仿真的基本步骤一般包括空间离散化、时间离散化以及数值求解。空间离散化是将现实中的一个连续介质近似成计算机能够表示的、具有有限自由度的结构；时间离散化则是将连续的时间段划分成若干个时间步，从而将物理仿真转换为从上一帧状态求解出下一帧状态的问题；而数值求解则是在空间、时间离散化之后解算单个时间步内物体状态改变的过程，在一般的物理仿真中往往是一个求解线性方程组或优化问题的过程。

在有限元方法一节，我们介绍了一种处理弹性体更“连续”的方式，其物理模型比弹簧质点系统更为复杂、多样。首先，我们借助连续介质力学向读者介绍了有限元方法如何刻画弹性体中的各种物理量，以及一些常用的本构模型；随后，我们介绍了空间离散化的方式，用以近似表示前述介绍的物理量进而能够求解弹性体的动态；最后，我们介绍了有限元方法的时间积分算法。通过这个模型，读者应当能够感受到即便物理模型十分复杂，我们仍然可以按照时间离散化、空间离散化和数值求解这几个部分逐步设计模拟算法。

21.3.1. 习题

1. 请使用伪代码或文字描述出构建弹簧质点系统海瑟矩阵的步骤。

2. 请使用伪代码或文字描述出有限元方法的隐式时间积分步骤。

21.3.2. 参考文献

[SB12]

Eftychios Sifakis and Jernej Barbic. Fem simulation of 3d deformable solids: a practitioner's guide to theory, discretization and model reduction. In Acm siggraph 2012 courses, pages 1–50. 2012.