9.4. 本章小结#
本章深入探讨了在可视计算中用于描述三维几何形状的几种核心表达方式。我们首先介绍了最经典和最广泛应用的多边形网格表示，特别是三角网格和四边形网格，它们通过顶点、边和面的拓扑关系显式地定义了物体的表面。我们还讨论了网格参数化技术，它建立了三维表面与二维平面之间的映射，是纹理映射等应用的基础；以及层次细节模型（LOD），它通过动态调整模型的复杂度来平衡渲染质量和效率。
接着，本章介绍了另外两种重要的显式表达：体素和点云。体素将三维空间离散化为规整的网格，适合表示实心物体，但存储开销较大。点云则是一组无序、非结构化的三维坐标点集合，它直接、简洁地刻画了物体的几何外形，但其非结构化的特性给后续处理带来了挑战。我们介绍了用于衡量点云相似度的倒角距离，以及包括随机采样、最远点采样和体素下采样在内的点云稀疏化技术。
最后，我们探讨了与显式表达相对的隐式表达，其核心是符号距离场（SDF）。SDF 并不直接存储几何表面，而是通过一个函数来表示空间中任意一点到表面的最近距离（并以符号区分内外）。这种方式非常适合进行几何查询和布尔运算。本章介绍了SDF的构建方法（如快速扫描法和快速步进法），并详细阐述了其最重要的应用之一——行进立方体算法，该算法能够从SDF中提取出等值面，从而将隐式表达转化为显式的网格模型，构成了连接不同几何表达方式的桥梁。
9.4.1. 思考题#
从并行性、几何信息保留程度出发，对比 §9.2.2.2 中提及的几种点云下降样技术。
行进立方体算法中存在歧义情况（见 图 9.14 第三行第四列），试对此进行解释并讨论可能产生的影响。
行进立方体算法对规则网格下的符号距离场做出了哪些假设？是否有其他提取网格表面的方式？
补充阅读
Dual Marching Cubes 方法（https://www.cs.rice.edu/~jwarren/papers/dmc.pdf）。
9.4.2. 习题#
倒角距离满足三角不等式吗？即，对于任意点云 \(P_1,P_2,P_3\)，是否有 \(\mathrm{CD}(P_1,P_2)+\mathrm{CD}(P_2,P_3)\ge \mathrm{CD}(P_1,P_3)\)？证明你的结论。
试提出具体的算法流程，将有符号距离场转换为体素表达。