11.6. 本章小结

本章深入探讨了数字几何处理的核心技术，聚焦于如何对网格模型进行分析、修改和优化。我们首先介绍了离散微分几何的基本概念，为在离散的网格上模拟连续的几何性质（如曲率）和微分算子（如拉普拉斯-贝尔特拉米算子）提供了理论基础。这些数学工具是后续高级算法的基石。

在此基础上，本章详细阐述了四类关键的几何处理算法：

1. 网格平滑：旨在消除模型表面的噪声和不规则之处。我们讨论了显式和隐式平滑方法，特别是基于拉普拉斯算子的平滑技术，它通过调整顶点位置使其更好地符合邻近区域的平均水平，从而实现表面的光顺。

2. 网格简化：目标是在尽可能保持原始形状的前提下，减少网格中的面片和顶点数量。这对于优化模型、实现层次细节（LOD）渲染至关重要。本章介绍了基于二次误差度量（QEM）的边收缩算法，它能有效地识别并移除对整体形状贡献较小的几何元素。

3. 网格细分：与简化相反，细分旨在通过迭代地分裂面和调整顶点位置，从一个粗糙的控制网格生成一个更平滑、更精细的曲面。我们介绍了两种业界著名的细分方案：主要用于三角网格的 Loop 细分和适用于四边形网格的 Catmull-Clark 细分。

4. 网格编辑：关注于如何直观、高效地对三维模型进行形状的修改和操控。本章介绍了基于空间变形的编辑技术，它通过定义一个从原始空间到变形后空间的映射函数，允许用户通过控制少数控制点来实现对复杂模型的自由变形。

通过对这些基础理论和算法的学习，本章为读者构建了数字几何处理的完整知识框架，揭示了如何通过计算手段来理解和创造复杂的三维形态。

11.6.1. 习题

本章不设习题。

11.6.2. 参考文献

[DMSchroderB99]

Mathieu Desbrun, Mark Meyer, Peter Schröder, and Alan H. Barr. Implicit fairing of irregular meshes using diffusion and curvature flow. In Proceedings of the 26th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques, SIGGRAPH '99, 317–324. USA, 1999. ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co.

[DS17]

Maria Duarte and Leonardo Sacht. Mean curvature flow and applications. 10 2017.

[GH97]

Michael Garland and Paul S. Heckbert. Surface simplification using quadric error metrics. In Proceedings of the 24th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques, SIGGRAPH '97, 209–216. USA, 1997. ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co.

[SCOL+04]

O. Sorkine, D. Cohen-Or, Y. Lipman, M. Alexa, C. Rössl, and H.-P. Seidel. Laplacian surface editing. In Proceedings of the 2004 Eurographics/ACM SIGGRAPH Symposium on Geometry Processing, SGP '04, 175–184. New York, NY, USA, 2004. Association for Computing Machinery.